Question

對于函數f(x)=

x

1+|x|

，下列結論正確的是

①④

．
①?x∈R，f（-x）+f（x）=0；
②?m∈（0，1），使得方程f（x）=m有兩個不等的實數解；
③?k∈（1，+∞），使得函數g（x）=f（x）-kx在R上有三個零點；
④?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）．

Answer 1

分析：①直接驗證即可，由此得到此函數是奇函數；
②可證明此函數在實數集R上具有單調性；
③經已知0是方程f（x）-kx=0的一個根；而當x＞0，k＞1時，方程

x

1+x

-kx=0無解，即函數g（x）無零點，同理x＜0時，亦無解，故③不正確；
④由②的單調性即可判斷出．

解答：解：由函數f(x)=

x

1+|x|

，可得函數的定義域為實數集R．
①?x∈R，f（-x）+f（x）=

-x

1+|-x|

+

x

1+|x|

=0，故①正確；
②由①可知：此函數是實數集R上的奇函數，其圖象關于原點對稱．
下面證明當x≥0時，函數f（x）=

x

1+x

單調遞增．
?0≤x₁＜x₂，則f(x1)-f(x2)=

x1

1+x1

-

x2

1+x2

=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴當x≥0時，函數f（x）=

x

1+x

單調遞增．
∵此函數是實數集R上的奇函數，∴此函數在區間（-∞，0）上也單調遞增．
另外，當x→+∞時，f（x）→1；當x→-∞時，f（x）→-1．如圖所示 可知②不正確；
③∵g（0）=f（0）-0=0，∴x=0是函數g（x）的一個零點；
當x＞0時，若?k∈（1，+∞），使得函數g（x）=f（x）-kx在區間（0，+∞）上有零點，則方程

x

1+x

-kx=0必有解，
此方程化為kx=1-k，∵x=

1-k

k

＜0，∴此方程無解，∴不存在k∈（1，+∞），使得函數g（x）=f（x）-kx在區間（0，+∞）上有零點；
同理不存在k∈（1，+∞），使得函數g（x）=f（x）-kx在區間（-∞，0）上有零點，故③不正確；
④由②可知：函數f(x)=

x

1+|x|

，在實數集R上單調遞增，因此?x₁，x₂∈R，若x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂），故④正確．
綜上可知：只有①④正確．
故答案為①④．

點評：由已知函數得出其奇偶性和單調性及畫出圖形是解題的關鍵．