Question

已知函數(shù)f（x）=ax²-2x+3，x∈（0，3]．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）如果函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用配方法求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域即可；
（2）函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有零點(diǎn)即方程ax²-2x+3=0在x∈（0，3]上有實(shí)根，等價(jià)于求函數(shù)a=

2x-3

x2

在x∈（0，3]上的值域，然后利用換元法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)求值域即可．

解答：解：（1）當(dāng)a=1時(shí)f（x）=x²-2x+3=（x-1）²+2，x∈（0，3]．
∴f（x）的最小值是f（1）=2，最大值為f（3）=6
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇2，6]
（2）函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有零點(diǎn)即方程ax²-2x+3=0在x∈（0，3]上有實(shí)根．
等價(jià)于求函數(shù)a=

2x-3

x2

在x∈（0，3]上的值域
令h（x）=

2x-3

x2

則h（x）=

2x-3

x2

=-3(

1

x

)2+2(

1

x

)，x∈（0，3]
令

1

x

=t∈[

1

3

，+∞）
則g（t）=-3t²+2t=-3（t-

1

3

）²+

1

3

當(dāng)t=

1

3

時(shí)，g（t）有最大值

1

3

∴a≤

1

3

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)零點(diǎn)的判斷，同時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．