Question

已知點，點為直線上的一個動點.
（Ⅰ）求證：恒為銳角；
（Ⅱ）若四邊形為菱形，求的值.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析;（Ⅱ）2.

試題分析：（Ⅰ）已知一個角的兩邊的向量,可以求出這個角的大小,由題,可以求出向量PA,PB,由向量內積公式可求得角的范圍;（Ⅱ）菱形的對邊平行且四邊相等,向量相等,橫縱坐標相等,由題,向量AP=BP,可以求得x=1,由向量PQ=BA,可以求得Q點坐標,即可求出向量的內積.
試題解析：（Ⅰ）∵點在直線上，
∴點,
∴，
∴ ,
∴,
若三點在一條直線上，則，
得到，方程無解，
∴,
∴恒為銳角.
（Ⅱ）∵四邊形為菱形，
∴，即
化簡得到，
∴，
∴ ,
設，∵，
∴，
∴,
∴.