Question

（2010•棗莊模擬）已知向量a=(cos

3

2

x，sin

3

2

x)，b=(-sin

x

2

，-cos

x

2

)，其中x∈[

π

2

，π]．
（1）若|a+b|=

3

，求x的值；
（2）函數f（x）=

a

•

b

+|

a

+

b

|²，若c＞f（x）恒成立，求實數c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由a+b=(cos

3x

2

-sin

x

2

，sin

3x

2

-cos

x

2

)，能導出|a+b|=

(cos 3x 2 -sin x 2 )2+(sin 3x 2 -cos x 2 )2

=

2-2sin2x，

再由|a+b|=

3

，能求出x的值．
（2）由a•b=-cos

3x

2

sin-sin

3x

2

cos

x

2

=-sin2x，知f（x）=a•b+|a+b|²=2-3sin2x，所以2≤f（x）=2-3sin2x≤5，{f（x）}_max=5．由此能求出實數c的取值范圍．

解答：解：（1）∵a+b=(cos

3x

2

-sin

x

2

，sin

3x

2

-cos

x

2

)，
∴|a+b|=

(cos 3x 2 -sin x 2 )2+(sin 3x 2 -cos x 2 )2

=

2-2sin2x，

…（2分）
由|a+b|=

3

，得

2-2sin2x

=

3

，即sin2x=-

1

2

．…（4分）
∵x∈[

π

2

，π]，
∴π≤2x≤2π．
因此2x=π+

π

6

，或2x=2π，即x=

7π

12

，或x=

11π

12

．…（6分）
（2）∵a•b=-cos

3x

2

sin-sin

3x

2

cos

x

2

=-sin2x，
∴f（x）=a•b+|a+b|²=2-3sin2x，…（8分）
∵π≤2x≤2π，∴-1≤sin2x≤0，0≤-3sin2x≤3，
∴2≤f（x）=2-3sin2x≤5，
∴{f（x）}_max=5．
則c＞f（x）恒成立，得c＞5．…（12分）

點評：本題考查平面向量的綜合運用，解題時要認真審題，注意三角函數性質的靈活運用．