Question

設f（x）是定義在R上的奇函數，對任意的x＞0，有f′（x）＜0，f（-1）=0，則不等式

f(x)-f(-x)

x

＞0的解集是（　　）

A．[-1，1]

B．（-∞，-1）∪（1，+∞）

C．（-1，0）∪（0，1）

D．（-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析：先根據奇函數求出f（1）的值，再化簡不等式，轉化為解

x＞0 f(x)＞0=f(1)

或

x＜0 f(x)＜0=f(-1)

，然后根據函數的單調性解不等式即可．

解答：解：∵f（x）是定義在R上的奇函數，f（-1）=0，

f(x)-f(-x)

x

＞0，
∴f（1）=-f（-1），

2f(x)

x

＞0，
∴不等式

2f(x)

x

＞0的解集即為

x＞0 f(x)＞0=f(1)

或

x＜0 f(x)＜0=f(-1)

，
∵對任意的x＞0，有f′（x）＜0，f（x）是定義在R上的奇函數，
∴函數f（x）在（0，+∞）上單調遞減，在（-∞，0）上單調遞增，
∴

x＞0 f(x)＞0=f(1)

或

x＜0 f(x)＜0=f(-1)

的解集為x∈（-1，0）∪（0，1），
∴不等式

f(x)-f(-x)

x

＞0的解集是x∈（-1，0）∪（0，1）．
故選C．

點評：本題主要考查了函數的奇偶性的性質，以及利用導數研究函數的單調性，同時考查了分析問題的能力和轉化的思想，屬于中檔題．