Question

（2008•寶坻區一模）已知等差數列{a_n}，公差大于0，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數列b_n前n項和T_n=1-

1

2

bn．
（1）寫出數列{a_n}、{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_nb_n，求證：c_n+1≤c_n．

Answer 1

分析：（1）由根與系數關系求出等差數列的兩項，進一步求出公差，則等差數列的通項公式可求，由通項等于和的差得到關于數列{b_n}的遞推式，進一步得到{b_n}是公比為

1

3

，首項為

2

3

的等比數列，則其通項公式可求；
（2）直接把兩個數列的通項公式代入后作差運算即可征得答案．

解答：解：（1）∵a₂+a₅=12，a₂a₅=27，又公差大于0，∴等差數列{a_n}的公差d=2．
∴a_n=2n-1，T1=b1=1-

1

2

b1，∴b1=

2

3

．
∵Tn+1-Tn=bn+1=1-

1

2

bn+1-1+

1

2

bn，
∴

3

2

bn+1=

1

2

bn，∴

bn+1

bn

=

1

3

．
∴{b_n}是公比為

1

3

，首項為

2

3

的等比數列．
∴bn=

2

3n

．
（2）∵cn=anbn=

2(2n-1)

3n

，cn+1=an+1bn+1=

2(2n+1)

3n+1

.cn+1-cn=2(

2n+1

3n+1

-

2n-1

3n

)=2(

2n+1-6n+3

3n+1

)=8(

1-n

3n+1

)≤0
∴c_n+1≤c_n．

點評：本題考查了等差數列和等不數列的通項公式，考查了數列的函數特性，訓練了放縮法求證不等式，是中檔題．