Question

已知數列{a_n}的各項均為正整數，且滿足a_n+1=a_n²-2na_n+2（n∈N^*），又a₅=11．
（1）求a₁，a₂，a₃，a₄的值，并由此推測出{a_n}的通項公式（不要求證明）；
（2）設b_n=11-a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，S_n′=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意通過a₅=11，求出a₄，a₃，a₂，a₁的值，由此推測a_n的一個通項公式．
（2）b_n=11-a_n=10-2n（n∈N^*），當n≤5時，S_n′；當n＞5時，S_n′；然后求出，再求出的值．
解答：解：（1）由a₅=11，得11=a₄²-8a₄+2，即a₄²-8a₄-9=0．解得a₄=9或a₄=-1（舍）．
由a₄=9，得a₃²-6a₃-7=0．
解得a₃=7或a₃=-1（舍）．
同理可求出a₂=5，a₁=3．
由此推測a_n的一個通項公式a_n=2n+1（n∈N^*）．
（2）b_n=11-a_n=10-2n（n∈N^*），可知數列{b_n}是等差數列．
S_n===-n²+9n．
當n≤5時，S_n′=S_n=-n²+9n；
當n＞5時，S_n′=-S_n+2S₅=-S_n+40=n²-9n+40．
當n≤5時，=1；
當n＞5時，=．
∴==-1．
點評：本題是中檔題，考查數列的極限的求法，數列通項公式的求法，分類討論的思想，考查計算能力．