Question

已知函數f（x）=ax⁴+bx³+cx²+dx+e（其中a、b、c、d、x∈R）為偶函數，它的圖象過點A（0，-1），且在x=1處的切線方程為2x+y-2=0．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若對任意x∈R，不等式f（x）≤t（x²+1）總成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先根據f（x）為偶函數，求出b和d的值，再根據函數的圖象經過點（0，-1）求出e，然后根據導數的幾何意義求出函數f（x）在x=1處的導數，從而求出切線的斜率，建立一等量關系，再根據切點在曲線上建立一等式關系，解方程組即可求得結果；
（2）根據對任意x∈R，不等式f（x）≤t（x²+1）總成立，分離參數可得

-2x4+3x2-1

x2+1

≤t恒成立，進而轉化為求函數g(x)=

-2x4+3x2-1

x2+1

的最大值即可，利用換元法和基本不等式即可求得結果．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x）恒成立．
即a（-x）⁴+b（-x）³+c（-x）²+d（-x）+e=ax⁴+bx³+cx²+dx+e恒成立，
∴b=0，d=0，即f（x）=ax⁴+cx²+e．
又由圖象過點A（0，-1），可知f（0）=-1，即e=-1．
又f′（x）=4ax³+2cx，由題意知函數y=f（x）在點（1，0）的切線斜率為-2，
故f′（1）=-2且f（1）=0．
∴4a+2c=-2且a+c-1=0．可得a=-2，c=3．
∴f（x）=-2x⁴+3x²-1．
（2）由f（x）≤t（x²+1）恒成立，且x²+1恒大于0，
可得

-2x4+3x2-1

x2+1

≤t恒成立．
令g(x)=

-2x4+3x2-1

x2+1

，設x²+1=m，則m≥1，
∴g(x)=

-2x4+3x2-1

x2+1

=

-2m2+7m-6

m

=7-2(m+

3

m

)≤7-4

m• 3 m

=7-4

3

（當且僅當m=

3

時，“=”號成立）．
∴g（x）的最大值為7-4

3

，
故實數t的取值范圍是[7-4

3

，+∞)．

點評：本題注意考查待定系數法求函數的解析式，以及分離參數的方法解決函數恒成立的問題，在解題時注意導數的幾何意義的應用和基本不等式求最值應注意的問題，考查靈活應用知識分析解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．