Question

已知F₁、F₂是橢圓

x2

k+2

+

y2

k+1

=1的左右焦點，弦AB過F₁，若△ABF₂的周長為8，則橢圓的離心率是

 

．

Answer 1

分析：先根據a²=k+2，b²=k+1求得c的表達式．再根據橢圓定義知道|AF₁|+|AF₂|關于k的表達式，再根據三角形ABF₂的周長求得k，進而可求得a，最后根據e=

c

a

求得橢圓的離心率．

解答：解：由題意知a²=k+2，b²=k+1
c²=k+2-（k+1）=1
所以c=1
根據橢圓定義知道：
lAF1l+lAF2l=lBF1l+lBF2l=2

k+2

而三角形ABF₂的周長
=lABl+lAF2l+lBF2l
=lAF1l+lAF2l+lBF1l+lBF2l
=4

k+2

=8
得出k+2=4
得K=2
∴a=

k+2

=2，
e=

c

a

=

1

2

故答案為：

1

2

點評：本題主要考查了橢圓性質．要利用好橢圓的第一和第二定義．