Question

（2008•寶坻區一模）如圖所示，AF是⊙O的直徑，AD與圓所在的平面垂直，AD=8，BC也是⊙O的直徑，AB=AC=6，OE∥AD，且OE=AD．
（1）求二面角B-AD-F的大小；
（2）求直線BD與EF所成的角．

Answer 1

分析：（1）容易得知∠BAF就是二面角B-AD-F的平面角．在△BAF中求解．
（2）（1）可知，ABFC是邊長為6的正方形，則AO是OD在平面ABF上的射影，OD⊥BC得出OFED是平行四邊形，得出EF∥OD，從而∠BDO就是直線BD與EF所成的角．在△BDO中求解．

解答：解：（1）因為AD⊥平面ABF，而AB、AF?平面ABF
所以AD⊥AB，AD⊥AF
則∠BAF就是二面角B-AD-F的平面角…（3分）
∵AB、BC是⊙O的直徑，∴ABFC是矩形
又AB=AC=6，則ABFC是正方形
則∠BAF=45°，
即所求二面角的大小為45°…（6分）
（2）由上可知：ABFC是邊長為6的正方形，則BC⊥AO
AD⊥平面ABF，則AO是OD在平面ABF上的射影
∴OD⊥BC
又OE∥AD   OE=AD   則DE∥AF
DE=AO=OF=OB=3

2

OFED是平行四邊形，EF∥OD．
即∠BDO就是直線BD與EF所成的角…（9分）sin∠BDO=

BO

BD

=

3 2

10

直線BD與EF所成的角為arcsin

3 2

10

…（12分）

點評：本題考查空間直線、平面位置關系的判斷，空間角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．