Question

已知函數f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R），且f（x）在x=1和x=3處取得極值．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）設函數g（x）=f（x）+t，是否存在實數t，使得曲線y=g（x）與x軸有兩個交點，若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax³+bx²-3x在x=1或3處取得極值，可得f'（1）=f'（3）=0，故可得到a、b的方程組，求解即可；

（2）曲線y=g（x）與x軸有兩個交點，轉化成g（x）=0有兩個不同的實數解，然后利用導數研究函數的單調性和極值，然后依題意有g（x）_極大值=0或g（x）_極小值=0即可求出t的值．

解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx-3，
因為f（x）在x=1和x=3處取得極值，
所以x=1和x=3是f′（x）=0的兩個根，…（2分）
∴

1+3=- 2b 3a 1×3=- 3 3a

即

a=- 1 3 b=2

，∴f(x)=-

1

3

x3+2x2-3x…（5分）
（Ⅱ）g′（x）=-x²+4x-3，令g′（x）=0，∴x=3或x=1．…（7分）
當x變化時，g′（x），g（x）變化情況如下表：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）		極小值		極大值

由上表可知：g（x）_極大值=g（3）=t；g(x)極小值=g(1)=t-

4

3

 …（9分）
∵g(x)=-

1

3

x3+2x2-3x+t=-

1

3

x(x-3)2+t，∴由此可知x取足夠大的正數時，有g（x）＜0；x取足夠小的負數時，有g（x）＞0，…（10分）
因此，為使曲線y=g（x）與x軸有兩個交點，結合g（x）的單調性，
必有：g（x）_極大值=g（3）=t=0，或g(x)極小值=g(1)=t-

4

3

=0 ，∴t=0或t=

4

3

所以存在t且t=0，或t=

4

3

…（12分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，以及圖形交點問題，同時考查了轉化的思想，屬于中檔題．