Question

22.設直線l與橢圓+=1相交于A、B兩點,l又與雙曲線x²－y²=1相交于C、D兩點,C、D三等分線段AB求直線l的方程.

Answer 1

22. 本小題主要考查直線、橢圓、雙曲線及定比分點等知識和思維能力、運算能力.

解法一：首先討論l不與x軸垂直時的情況,設直線l的方程為y=kx+b,如圖所示,l與橢圓、雙曲線的交點為：

A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂）、C（x₃,y₃）、D（x₄,y₄），

依題意有=,=3,

由得（16+25k²）x²+50kbx+（25b²－400）=0,     ①

∴x₁+x₂=－.

由得（1－k²）x²－2bkx－（b²+1）=0.                 ②

若k=±1,則l與雙曲線最多只有一個交點,不合題意.故k≠±1.

∴x₃+x₄=.

由=x₃－x₁=x₂－x₄x₁+x₂=x₃+x₄.

－

=bk=0k=0或b=0.

（1）當k=0時,由①得x_1、2=±、由②得x_3、4=±.

由=3x₂－x₁=3（x₄－x₃）.

即=6

b=±.

故l的方程為y=±.

（2）當b=0時,由①得x_1、2=±,

由②得x_3、4=±.

由=3x₂－x₁=3（x₄－x₃）.即=

k=±.

故l的方程為y=±x.

再討論l與x軸垂直的情況.

設直線l的方程為x=c,分別代入橢圓和雙曲線方程可解得

y_1、2=±.　y_3、4=±.

由||=3|||y₂－y₁|=3|y₄－y₃|.

即=6c=±.

故l的方程為x=±.

綜上所述,直線l的方程是：y=±、y=±x和x=±.

解法二：設l與橢圓、雙曲線的交點為：

A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)、D(x₄,y₄),

則有

由i的兩個式子相減及j的兩個式子相減，得：

因C、D是AB的三等分點，

故CD的中點（x₀,y₀）與AB的中點重合，且.

于是x₀==,y₀==,

x₂－x₁=3(x₄－x₃),

y₂－y₁=3(y₄－y₃).

因此

若x₀y₀≠0,則x₂=x₁x₄=x₃y₄=y₃y₂=y₁.

因A、B、C、D互異，故x_i≠x_j,y_i≠y_j,這里i,j=1,2,3,4且i≠j.

①÷②得16=－25,矛盾.

所以x₀y₀=0.

（1）當x₀＝0，y₀≠0時，由②得y₄=y₃≠0，這時l平行x軸.

設l的方程為y=b,分別代入橢圓、雙曲線方程得：

x_1、2＝±,x_3、4＝±.

∵x₂－x₁=3(x₄－x₃)=6b=±.

故l的方程為：y=±.

（2）當y₀=0，x₀≠0時，由②得x₄=x₃≠0，這時l平行y軸.

設l的方程為x=c，分別代入橢圓、雙曲線方程得：

y_1、2＝±，y_3、4=±.

∵y₂－y₁=3(y₄－y₃)=6c=±.

故l的方程為：x=±.（3）當x₀＝0，y₀=0時，這時l通過坐標原點且不與x軸垂直.

設l的方程為y=kx，分別代入橢圓、雙曲線方程得：

x_1、2=±,　x_3、4=±.

∵x₂－x₁=3(x₄－x₃)k=±.

故l的方程為：y=±x.

綜上所述，直線l的方程是：y=±x、y=±和x=±.