Question

選修4-2：矩陣與交換
已知二階矩陣M=，矩陣M對應的變換將點（2，1）變換成點（4，-1）．求矩陣M將圓x²+y²=1變換后的曲線方程．

Answer 1

【答案】分析：根據矩陣M對應的變換將點（2，1）變換成點（4，-1），可求得M=．在單位圓上設點P（x，y），P被M變換后變成曲線C上的點Q（x'，y'），利用矩陣變換的公式列方程組，并將x、y表示成x'、y'的式子，將此關系式作為點P坐標，代入單位圓方程，化簡整理即得變換后的曲線C方程．
解答：解：∵二階矩陣M=，矩陣M對應的變換將點（2，1）變換成點（4，-1）．
∴M=，即•=
可得，解之得，所以M=
設點P（x，y）是圓x²+y²=1上的任意一點，變換后的點為Q（x'，y'），則
M=，可得，從而
將點P（（x'-2y'），（x'+y'））代入單位圓方程，得
（x'-2y'）²+（x'+y'）²=1，化簡整理得：2（x'）²+5（y'）²-2x'y'-9=0
∴M將圓x²+y²=1變換后的曲線C方程為：2x²+5y²-2xy-9=0．
點評：本題給出矩陣M，叫我們求單位圓經M變換后的曲線的方程，著重考查了矩陣的乘法法則和矩陣變換的含義等知識，屬于基礎題．