Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象經過原點，且在x=1處取得極值，直線y=2x+3到曲線y=f（x）在原點處的切線所成的角為45°．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若對于任意實數α和β恒有不等式|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤m成立，求m的最小值．

Answer 1

（1）解：由題意有f（0）=c=0，f'（x）=3x²+2ax+b且f′（1）=3+2a+b=0
又曲線y=f（x）在原點處的切線的斜率k=f′（0）=b，而直線y=2x+3到此切線所成的角為45°，
∴，解得b=-3，代入f′（1）=3+2a+b=0得a=0，
∴f（x）=x³-3x…．（6分）
（2）解：由f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）可知，f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上遞增，在[-1，1]上遞減．
又f（-2）=-2，f（-1）=2，f（1）=-2，f（2）=2，
∴f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值分別為-2和2，…．（12分）
又∵sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]
∴|f（2sinα）-f（2sinβ）|≤4
故m的最小值為4．…．（15分）
分析：（1）由函數f（x）=x³+ax²+bx+c的圖象經過原點，有f（0）=c=0，利用在x=1處取得極值可知f′（1）=3+2a+b=0
又曲線y=f（x）在原點處的切線的斜率k=f′（0）=b，而直線y=2x+3到此切線所成的角為45°，根據到角公式可求得解得b=-3，從而可求函數的解析式；
（2）由f′（x）=3x²-3=3（x-1）（x+1）可知，f（x）在（-∞，-1]和[1，+∞）上遞增，在[-1，1]上遞減，從而可得f（x）在[-2，2]上的最大值和最小值分別為-2和2，根據2sinα∈[-2，2]，2sinβ∈[-2，2]，可得m的最小值．
點評：本題以函數為載體，考查導數的幾何意義，考查利用導數求函數的極值、最值．