Question

已知數列{a_n}的通項公式a_n=-n²+12n-32，前n項和為S_n，若n＞m，則S_n-S_m的最大值是（　　）

A．5

B．10

C．15

D．20

Answer 1

分析：數列{a_n}的通項公式a_n=-n²+12n-32=-（n-4）（n-8），當n＜4時，a_n＜0，當4＜n＜8時，a_n＞0．也就是說n＜4時，a_n＜0，Sn隨著n增加而減小，
n=3或n=4時，Sn取最小值．當4＜n＜8時，Sn隨著n增加而增加，故當n=7或n=8時，Sn取最大值．故S_n-S_m的最大值是S₈-S₄，運算求得結果．

解答：解：數列{a_n}的通項公式a_n=-n²+12n-32=-（n-4）（n-8），該二次函數開口向下，當n=4或n=8時，a_n=0，
當n＜4時，a_n＜0，當4＜n＜8時，a_n＞0．
也就是說n＜4時，a_n＜0，Sn隨著n增加而減小，n=3或n=4時，Sn取最小值．
當4＜n＜8時，Sn隨著n增加而增加，故當n=7或n=8時，Sn取最大值．
∴n＞m，Sn-Sm的最大值是Sn的最大值減去Sn的最小值．
故S_n-S_m的最大值是S₈-S₄=a₅+a₆+a₇+a₈=3+4+3+0=10，
故選B．

點評：本題主要考查數列的函數特性，二次函數的性質應用，屬于中檔題．