Question

（理科）已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-）且方向向量為的直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交x軸于M點(diǎn)，又．
（1）求直線(xiàn)l方程；  
（2）求橢圓C長(zhǎng)軸長(zhǎng)取值的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由條件：一條經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，-）且方向向量為，可得直線(xiàn)的斜率，進(jìn)而可求直線(xiàn)l方程； 
（2）將直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，利用．可得幾何量之間的關(guān)系，借助于直線(xiàn)l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，從而有判別式大于0，故可求橢圓C長(zhǎng)軸長(zhǎng)取值的范圍．
解答：解：（1）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（3，-）且方向向量為∴
化簡(jiǎn)為：…（4分）

（2）設(shè)直線(xiàn)
交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），和x軸交于M（1，0）
由…（7分）
將…①
由韋達(dá)定理知：
由②²/③知：32b²=（4b²+5a²）（a²-1）…（10分）
化為…④
對(duì)方程①求判別式，且由△＞0，即
化簡(jiǎn)為：5a²+4b²＞5…⑤
由④式代入⑤可知：，
又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則a²＞b²，由④知：．
因此所求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a范圍為．
點(diǎn)評(píng)：本題以橢圓為載體，考查直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵是直線(xiàn)與橢圓方程的聯(lián)立，利用韋達(dá)定理可解．