Question

（1）已知函數(shù)f（2x）=x²+x，求函數(shù)f（x）和f（x+1）的解析式．
（2）討論函數(shù)f（x）=x+

4

x

在[2，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析：（1）用換元法求解，令：2x=t，則有x=

1

2

t，可求得f（t），再令t=x，可求得f（x），最后求得f（x+1）的解析式；
（2）利用導數(shù)得到函數(shù)在[2，+∞）上的單調(diào)性．

解答：解：（1）令：2x=t，
則有x=

1

2

t，
∴f（t）=

1

4

t²+

1

2

t
∴f（x）=

1

4

x²+

1

2

x
f（x+1）=

1

4

（x+1）²+

1

2

（x+1）=

1

4

x²+x+

3

4

；
（2）由于x∈[2，+∞），則f′(x)=1-

4

x2

≥0恒成立
故函數(shù)f（x）=x+

4

x

在[2，+∞）上的單調(diào)遞增．

點評：本題主要考查求函數(shù)解析式，常用方法有待定系數(shù)法，配方法，換元法，代換法，方程法等．