Question

已知sinα+cosα=，α∈（0，），sin（β-）=，β∈（，）．
（1）求sin2α和tan2α的值；
（2）求cos（α+2β）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）把已知條件兩邊平方，然后利用同角三角函數間的關系及二倍角的正弦函數公式化簡可得sin2α的值，根據2α的范圍利用同角三角函數間的關系求出cos2α即可得到tan2α的值；
（2）根據β的范圍求出的范圍，由sin（）的值利用同角三角函數間的關系求出cos（）的值，然后利用二倍角的正弦函數公式及同角三角函數間的關系分別求出sin2β和cos2β的值，根據第一問分別求出sinα和cosα的值，把所求的式子利用兩角和的余弦函數公式化簡后，將每個三角函數值代入即可求出．
解答：解：（1）由題意得（sinα+cosα）²=，
即1+sin2α=，∴sin2α=．
又2α∈（0，），∴cos2α==，∴tan2α==．
（2）∵β∈（，），β-∈（0，），∴cos（β-）=，
于是sin2（β-）=2sin（β-）cos（β-）=．
又sin2（β-）=-cos2β，∴cos2β=-．
又2β∈（，π），∴sin2β=．
又cos²α==，
∴cosα=，sinα=（α∈（0，））．
∴cos（α+2β）=cosαcos2β-sinαsin2β
=×（-）-×=-．
點評：此題考查學生靈活運用二倍角的正弦函數公式、同角三角函數間的基本關系及兩角和的余弦函數公式化簡求值，是一道綜合題．做題時學生應注意角度的范圍．