Question

如圖如示，三臺(tái)機(jī)器人M₁、M₂、M₃和檢測臺(tái)M（M與M₁、M₂、M₃均不能重合）位于一條直線上，三臺(tái)機(jī)器人需把各自生產(chǎn)的零件送交M處進(jìn)行檢測，送檢程序設(shè)定：當(dāng)M₁把零件送達(dá)M處時(shí)，M₂即刻自動(dòng)出發(fā)送檢；當(dāng)M₂把零件送達(dá)M處時(shí)，M₃即刻自動(dòng)出發(fā)送檢．設(shè)M₂的送檢速度υ，且送檢速度是M₁的2倍，是M₃的3倍．
（1）求三臺(tái)機(jī)器人M₁、M₂、M₃把各自生產(chǎn)的零件送達(dá)檢測臺(tái)M的時(shí)間總和；
（2）現(xiàn)要求三臺(tái)機(jī)器人M₁、M₂、M₃送檢時(shí)間總和必須最短，請你設(shè)計(jì)出檢測臺(tái)M在該直線上的位置．

Answer 1

分析：（1）如圖是一個(gè)數(shù)軸，可以得到各個(gè)點(diǎn)到原點(diǎn)0的距離，這是我們設(shè)M₂的送檢速度為v，可以求出M₁、M₃、的速度，根據(jù)速度與時(shí)間、路程的關(guān)系，求出三臺(tái)機(jī)器人M₁、M₂、M₃把各自生產(chǎn)的零件送達(dá)檢測臺(tái)M的時(shí)間總和；
（2）設(shè)x為檢測臺(tái)M的位置坐標(biāo)，則三臺(tái)機(jī)器人M₁、M₂、M₃與檢測臺(tái)M的距離分別可求出，根據(jù)時(shí)間=

路程

速度

，得到各自的生產(chǎn)零件送達(dá)檢測臺(tái)M處的時(shí)間總和為，得到分段函數(shù)f（x），根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解；

解答：解：（1）由已知得檢測臺(tái)M的坐標(biāo)為0，
則機(jī)器人，M₁、M₂、M₃、與檢測臺(tái)M的距離分別為2、1、3；
設(shè)M₂的送檢速度為v，則M₁的送檢速度為

1

2

v，M₃的送檢速度為

1

3

v，故三臺(tái)機(jī)器人M₁，M₂，M₃，
按程序把各自的生產(chǎn)零件送達(dá)檢測臺(tái)M處的時(shí)間總和為：y=

v

2

×2+1×v+

v

3

×3=3v．
（2）設(shè)x為檢測臺(tái)M的位置坐標(biāo)，則三臺(tái)機(jī)器人M₁、M₂、M₃與檢測臺(tái)M的距離分別為|x-（-2）|、|x-1|、|x-3|．
于是三臺(tái)機(jī)器人M₁、M₂、M₃，按程序把各自的生產(chǎn)零件送達(dá)檢測臺(tái)M處的時(shí)間總和為，
y=

1

2

v|x-（-2）|+

|x-1|

v

+

1

3

v|x-3|=

1

v

（2|x+2|+|x-1|+3|x-3|）
下面求f（x）=2|x+2|+|x-1|+3|x-3|的最小值，
∴f（x）=

-6x+6(x＜-2) -2x+14(-2≤x＜1) 12             (1≤x＜3) 6x-6        (x＞3)

，由分段函數(shù)性質(zhì)：
當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，有f（x）_min=12，即送檢時(shí)間總和最短為

12

v

，
又檢測臺(tái)M與M₁，M₂，M₃，均不能重合，故可將檢測臺(tái)M設(shè)置在直線上機(jī)器人M₂和M₃，之間的任何位置（不含M₂，M₃的位置）
都能使個(gè)各機(jī)器人M₁、M₂、M₃的送檢時(shí)間總和最短；

點(diǎn)評：此題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，解題過程中用到了分類討論的思想，是一道基礎(chǔ)題；