Question

已知是等差數列，為公差且不等于，和均為實數，它的前項和記作，設集合，，試問下列結論是否正確，如果正確，請給予證明；如果不正確，請舉例說明．

（Ⅰ）若以集合中的元素作為點的坐標，則這些點都在一條直線上；

（Ⅱ）至多有一個元素；

（Ⅲ）當時，一定有．

Answer 1

解析：（Ⅰ）正確．

因為，在等差數列中，，所以，．

這表明點的坐標適合方程．

所以，點均在直線上．　　　……………………………………………5分

（Ⅱ）正確．

設，則坐標中的、應是方程組的解．

解這個方程組，消去，得．（）

當時，方程（）無解，此時，．　　　……………………………10分

當時，方程（）只有一個解，

此時方程組也只有一個解，即 

故上述方程組至多有一解，所以至多有一個元素．　　　………………………15分

（Ⅲ）不正確．

取，，對一切，有，．

這時集合中的元素的點的橫、縱坐標均為正．

另外，由于，如果，那么根據（Ⅱ）的結論，

至多有一個元素（），而，．

這樣的，產生矛盾．所以，，時，，

故時，一定有是不正確的．　　　……………………………………20分