Question

（本題滿分15分）

設有半徑為3的圓形村落，、兩人同時從村落中心出發。一直向北直行；先向東直行，出村后一段時間，改變前進方向，沿著與村落邊界相切的直線朝所在的方向前進。

（1）若在距離中心5的地方改變方向，建立適當坐標系，

求：改變方向后前進路徑所在直線的方程

（2）設、兩人速度一定，其速度比為，且后來恰與相遇.問兩人在何處相遇？

（以村落中心為參照，說明方位和距離）

 

Answer 1

【答案】

(1) ；(2) A、B相遇點在村落中心正北距離千米處

【解析】本題考查了圓的方程的綜合應用，在這個題中注意解決實際問題的基本步驟，及題目條件的轉化，體現了轉化思想和數形結合思想，是個中檔題．

（1）建立如圖坐標系：得到點的坐標，進而求解

（2）先根據題意，以村落中心為坐標原點，向東的方向為x軸建立直角坐標系，根據兩人的速度關系設其速度及各點，將實際問題轉化為數學問題，利用圖形中的直角三角形得到5x₀=4y₀，代入直線的斜率公式可得直線的斜率，再利用直線與圓相切即可的直線方程，也就得到了該問題的解．

(1)建立如圖坐標系：

(2)由題意可設A、B兩人速度分別為3v千米/小時 ，v千米/小時，

再設A出發x₀小時，在點P改變方向，又經過y₀小時，在點Q處與B相遇.

則P、Q兩點坐標為（3vx₀, 0），（0,vx₀+vy₀）.

由|OP|²+|OQ|²=|PQ|²知，

（3vx₀）²+(vx₀+vy₀)²=(3vy₀)²,

即.

……①

將①代入 

又已知PQ與圓O相切，直線PQ在y軸上的截距就是兩個相遇的位置.

設直線相切，則有 

答：A、B相遇點在村落中心正北距離千米處