Question

已知﹛a_n﹜是以a為首項，q為公比的等比數列，S_n為它的前n項和．
（Ⅰ）當S₁，S₃，S₄成等差數列時，求q的值；
（Ⅱ）當S_m，S_n，S_l成等差數列時，求證：對任意自然數k，a_m+k ，a_n+k，a_l+k也成等差數列．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得出a_n=a₁q ^n-1，S₃=a₁+a₂+a₃=a₁（1+q+q²），S₄=a₁+a₂+a₃+a₄=a₁（1+q+q²+q³），
根據S₁，S₃，S₄成等差數列得出2S₃=S₁+S₄，
代入整理并化簡，約去q和a₁，得q²-q-1=0，
解得q=

1± 5

2

；
（Ⅱ）當q=1時，該數列為常數列，若S_m，S_n，S_l成等差數列，則也有a_m+k，a_n+k，a_1+k成等差數列；
若q≠1，由S_m，S_n，S₁成等差數列，則有2S_n=S₁+S_m，
即有

2a1(1-qn)

1-q

=

a1(1-qm)

1-q

+

a1(1-ql)

1-q

，
整理化簡得2q^n-1=q^m-1+q^l-1，兩邊同乘以a₁，得2a₁q^n-1=a₁q^m-1+a₁q^l-1，即2a_n=a_m+a_l，
兩邊同乘以q^k即可得到2a_n+k=a_m+k+a_l+k，
即a_m+k ，a_n+k，a_l+k成等差數列．