Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面四邊形ABCD是菱形，AC∩BD=O，△PAC是邊長為2的等邊三角形，PB=PD=

6

，AP=4AF．
（Ⅰ）求證：PO⊥底面ABCD；
（Ⅱ）求直線CP與平面BDF所成角的大小；
（Ⅲ）在線段PB上是否存在一點M，使得CM∥平面BDF？如果存在，求

BM

BP

的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）證明PO⊥底面ABCD，只需證明PO⊥AC，PO⊥BD；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，求出直線CP的方向向量，平面BDF的法向量，利用向量的夾角公式可求直線CP與平面BDF所成角的大小；
（Ⅲ）設

BM

BP

=λ（0≤λ≤1），若使CM∥平面BDF，需且僅需

.

CM

•

n

=0且CM?平面BDF，即可得出結論．

解答：（Ⅰ）證明：因為底面ABCD是菱形，AC∩BD=O，
所以O為AC，BD中點．-------------------------------------（1分）
又因為PA=PC，PB=PD，
所以PO⊥AC，PO⊥BD，---------------------------------------（3分）
所以PO⊥底面ABCD．----------------------------------------（4分）
（Ⅱ）解：由底面ABCD是菱形可得AC⊥BD，
又由（Ⅰ）可知PO⊥AC，PO⊥BD．
如圖，以O為原點建立空間直角坐標系O-xyz．
由△PAC是邊長為2的等邊三角形，PB=PD=

6

，
可得PO=

3

，OB=OD=

3

．
所以A(1，0，0)，C(-1，0，0)，B(0，

3

，0)，P(0，0，

3

)．---------------------------------------（5分）
所以

CP

=(1，0，

3

)，

AP

=(-1，0，

3

)．
由已知可得

OF

=

OA

+

1

4

AP

=(

3

4

，0，

3

4

)-----------------------------------------（6分）
設平面BDF的法向量為

.

n

=（x，y，z），則

3 y=0 3 4 x+ 3 4 z=0

令x=1，則z=-

3

，所以

n

=（1，0，-

3

）．----------------------------------------（8分）
因為cos＜

CP

，

n

＞=

CP • n

| CP || n |

=-

1

2

，----------------------------------------（9分）
所以直線CP與平面BDF所成角的正弦值為

1

2

，
所以直線CP與平面BDF所成角的大小為30°．-----------------------------------------（10分）
（Ⅲ）解：設

BM

BP

=λ（0≤λ≤1），則

CM

=

CB

+

BM

=

CB

+λ

BP

=(1，

3

(1-λ)，

3

λ)．---------------------------------（11分）
若使CM∥平面BDF，需且僅需

.

CM

•

n

=0且CM?平面BDF，---------------------（12分）
解得λ=

1

3

∈[0，1]，----------------------------------------（13分）
所以在線段PB上存在一點M，使得CM∥平面BDF．
此時

BM

BP

=

1

3

．-----------------------------------（14分）

點評：本題考查線面垂直，考查線面平行，考查線面角，考查向量知識的運用，正確求出向量的坐標是關鍵．