Question

已知函數f（x）=log_a（a＞0，b＞0，a≠1）．
（1）求f（x）的定義域；（2）討論f（x）的奇偶性；
（3）討論f（x）的單調性．

Answer 1

【答案】分析：（1）真數要大于0；（2）用奇偶性定義討論；（3）先轉化函數再用單調性定義討論．
解答：解：（1）使f（x）有意義，則＞0，
∵b＞0，∴x＞b或x＜-b，
∴f（x）的定義域為{x|x＞b或x＜-b}．
（2）由（1）知f（x）的定義域關于原點對稱，
∵f（-x）=log_a=log_a=log_a^-1=-log_a=-f（x）．
∴f（x）為奇函數．
（3）設u===1+，
設x₁＞x₂，則u₁-u₂=1+-=，
當x₁＞x₂＞b時，＜0，即u₁＜u₂，
此時，u為減函數，同理-b＞x₁＞x₂時，u也為減函數．
∴當a＞1時，f（x）=log_a在（-∞，-b）上為減函數，在（b，+∞）上也為減函數．
當0＜a＜1時，
f（x）=log_a在（-∞，-b）上為增函數，在（b，+∞）上也為增函數．
點評：本題主要考查函數的基本性質單調性和奇偶性，是函數中的常考題型，屬中高檔題．