Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{a_n} 滿足，且a₂+a₄=2a₃+4，其中n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（2）令，記數(shù)列{a_n} 的前n項(xiàng)積為T_n，其中n∈N^* 試比較T_n 與9的大小，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，化簡(jiǎn)為（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，又a_n＞0，得出2a_n=a_n+1，數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，故可求數(shù)列{a_n} 的通項(xiàng)公式；
（2）構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），證得f（x）＜f（0）=0，進(jìn)而利用放縮法、再利用錯(cuò)位相減法，即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）因?yàn)閍_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1，所以數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列．
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2，故a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（2）構(gòu)造函數(shù)f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），則
當(dāng)x＞0時(shí)，f′（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∴f（x）＜f（0）=0，∴l(xiāng)n（1+x）-x＜0
∴l(xiāng)nc_n=ln（）=
∴l(xiāng)nT_n＜
記A_n=①，則A_n=②
∴①-②可得A_n==1-＜1
∴A_n＜2
∴l(xiāng)nT_n＜2
∴T_n＜e²＜9．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的判定，性質(zhì)和數(shù)列的求和，考查構(gòu)造函數(shù)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，綜合性強(qiáng)．