Question

已知函數f(x)=2sin2(

π

4

+x)-

3

cos2x．
（1）若f（x）圖象左移θ單位后對應函數為偶函數，求θ的值；
（2）若x∈[

π

4

，

π

2

]時，不等式f（x）＞m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的恒等變換化簡函數f（x）的解析式，再根據左移θ后對應函數為偶函數，求得θ的值．
（2）根據x∈[

π

4

，

π

2

]時，不等式f（x）＞m恒成，可得m＜f（x）_min，再由

π

6

≤2θ-

π

3

≤

2π

3

，求得f（x）的最小值，從而求得m的取值范圍．

解答：解：（1）f(x)=1-cos(

π

2

+2x)-

3

cos2x=1+sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)+1y=f(x+θ)=2sin[2(x+θ)-

π

3

]+1=2sin(2x+2θ-

π

3

)+1…（4分）
∵左移θ后對應函數為偶函數，∴sin(2θ-

π

3

)=±1，2θ-

π

3

=kπ+

π

2

∴θ=

kπ

2

+

5π

12

(k∈Z)…（7分）
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]時，不等式f（x）＞m恒成立，∴m＜f（x）_min ，（9分）
而

π

6

≤2θ-

π

3

≤

2π

3

，∴f（x）_min=2，
∴m的取值范圍是（-∞，2）．…（14分）

點評：本題主要考查三角函數的恒等變換，正弦函數的單調性、定義域和值域，函數的恒成立問題，屬于中檔題．