Question

3．已知命題：“?x∈{x|-1＜x＜1}，使等式x²-x-m=0成立”是真命題．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值集合M；
（2）設(shè)不等式（x-a）（x-a+3）＜0的解集為N，若x∈N是x∈M的必要條件，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的范圍即可，
（2）求出集合N，結(jié)合充分條件和必要條件的定義建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由x²-x-m=0得m=x²-x=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$，
∵-1＜x＜1，∴-$\frac{1}{4}$≤x²-x＜2，
若“?x∈{x|-1＜x＜1}，
則-$\frac{1}{4}$≤m＜2，
即實(shí)數(shù)m的取值集合M=[-$\frac{1}{4}$，2）；
（2）由（x-a）（x-a+3）＜0得a-3＜x＜a，
即N=（a-3，a），
若x∈N是x∈M的必要條件，
則M⊆N，
即$\left\{\begin{array}{l}{a-3＜-\frac{1}{4}}\\{a≥2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{11}{4}}\\{a≥2}\end{array}\right.$，
得2≤a＜$\frac{11}{4}$，
即a的取值范圍是2≤a＜$\frac{11}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用以及特稱命題的應(yīng)用，利用條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．