Question

已知函數f（x）=|2^|x-1|-2|，關于x的方程f²（x）-2f（x）+k=0，下列四個命題中是假命題的是（　　）

A．存在實數k，使得方程恰有2個不同的實根

B．存在實數k，使得方程恰有4個不同的實根

C．存在實數k，使得方程恰有6個不同的實根

D．存在實數k，使得方程恰有8個不同的實根

Answer 1

分析：利用換元t=f（x）將方程f²（x）-2f（x）+k=0，化為t²-2t+k=0，根據絕對值的性質t≥0，利用函數f（t）=t²-2t+k的對稱軸為x=1這一性質，找去合適的t值，從而得到相應的k值，使其滿足題設要求，一步一步進行討論，從而求解．

解答：解：設t=f（x），則方程f²（x）-2f（x）+k=0化為t²-2t+k=0，∵f（x）=|2^|x-1|-2|，
∴t=f（x）≥0
對方程，△=4-4k
若k＜1，△＞0，此時方程有兩個根，
若k=1，△=0，方程有一個根，
若k＞1，則方程無根，
當k=-3時，得t=3或t=-1（舍去），由于t=f（x）=|2^|x-1|-2|，解得x有二個根，故A正確；
當k=0時，得f（x）=0或f（x）=2，解得x有4個解，故B正確；
當t1=

1

2

，t2=

3

2

時，存在實數k=

3

4

，使得方程恰有6個不同的實根，故C答案正確；
因為函數g（t）=t²-2t+k圖象關于t=1對稱，如果方程t²-2t+k=0，有兩異根，則定有一根大于1，一根小于1，其中大于1的根t，代入
t=f（x）=|2^|x-1|-2|只能解出兩個根，故不能使得方程恰有8個不同的實根；
故選D．

點評：此題考查一元二次方程根的存在問題，把函數與方程結合起來，進行換元，再根據絕對值的性質判斷根的個數，加大了試題的難度．