Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c．f（x）在點x=0處取得極值，并且在單調區(qū)間[0，2]和[4，5]上具有相反的單調性．
（1）求實數b的值；
（2）求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）在點x=0處取得極值，可得f'（0）=0，建立等量關系，求出參數b即可．
（2）有條件“在單調區(qū)間[0，2]和[4，5]上具有相反的單調性”可知函數的極值點應介于[2，4]即可．

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b，因為f（x）在點x=0處取得極值，
所以f'（x）=0，即得b=0；
（2）令f'（0）=0，即3x²+2ax=0，
解得x=0或x=-

2

3

a．
依題意有-

2

3

a＞0．

因為在函數在單調區(qū)間[0，2]和[4，5]上具有相反的單調性，所以應有2≤-

2

3

a≤4，
解得-6≤a≤-3．

點評：本小題主要考查運用導數研究函數的單調性及極值等基礎知識，考查綜合分析和解決問題的能力．