Question

已知點E，F的坐標分別是（-2，0）、（2，0），直線EP，FP相交于點P，且它們的斜率之積為．
（1）求證：點P的軌跡在橢圓上；
（2）設過原點O的直線AB交（1）題中的橢圓C于點A、B，定點M的坐標為，試求△MAB面積的最大值，并求此時直線AB的斜率k_AB；
（3）某同學由（2）題結論為特例作推廣，得到如下猜想：
設點M（a，b）（ab≠0）為橢圓內一點，過橢圓C中心的直線AB與橢圓分別交于A、B兩點．則當且僅當k_OM=-k_AB時，△MAB的面積取得最大值．
問：此猜想是否正確？若正確，試證明之；若不正確，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中點E，F的坐標分別是（-2，0）、（2，0），直線EP，FP相交于點P，且它們的斜率之積為．我們設出P（x，y），進而得到x，y之間的關系式，整理后即可得到點P的軌跡方程．
（2）設直線AB的方程為y=kx，A（x₁，kx₁），則B（-x₁，-kx₁），聯立直線和橢圓的方程，我們可得，利用弦定公式，求出AB的長，利用點到直線公式，求出M點直線AB的距離求出AB邊的高，可以得到△MAB面積的表達式，進而求出△MAB面積m的取值范圍，得到△MAB面積m的，代入可求出對應的k值．
（3）設M（1，4），根據（2）的計算辦法，我們易求出，△MAB的面積取得最大值時，并求出此進k_OM及k_AB的值，驗證后，可得猜想不成立．
解答：證明：（1）設P（x，y），由直線PE，PF的斜率均存在可知，x≠±2
由題意可得，
整理可得，（x≠±2）
點P的軌跡為橢圓上
（2）設直線AB的方程為y=kx，A（x₁，kx₁），則B（-x₁，-kx₁）
聯立方程
整理可得
AB=2OA==
∵M（）到直線AB的距離d=
==m
則4（1-m²）k²-4k+1-m²=0
則4²-4•4（1-m²）•（1-m²）≥0
即（1-m²）²≤1
又由m≥0可得
0≤m≤
即三角形MAB的最大值為
代入4（1-m²）k²-4k+1-m²=0得
k=
（3）設M（1，），則M點在橢圓內
由（2）中推導過程，可得
當k_0M=，k_AB=-1時，△MAB的面積取得最大值
此時k_OM≠-k_AB，
故猜想：點M（a，b）（ab≠0）為橢圓內一點，
過橢圓C中心的直線AB與橢圓分別交于A、B兩點．
則當且僅當k_OM=-k_AB時，△MAB的面積取得最大值正確
點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的綜合問題，其中（1）的關鍵是分別求出兩條直線的斜率，進而得到P點橫、縱坐標的關系式，（2）的關鍵是得到△MAB面積的表達式，（3）中正面證明比較麻煩，可以舉出一反例，推反前面的猜想．