Question

甲、乙、丙三人分別獨立解一道數學題，已知甲做對這道題的概率是

3

4

，甲、丙兩人都做錯的概率是

1

12

，乙、丙兩人都做對的概率是

1

4

．
（1）求乙、丙兩人各自做對這道題的概率；
（2）求做對該題人數隨機變量ξ的分布列和Eξ．

Answer 1

分析：本題考查的知識點有：等可能事件的概率，離散型隨機變量及其分布列、期望與方差，是一道相對綜合的概率問題，
（1）我們根據甲做對這道題的概率是

3

4

，甲、丙兩人都做錯的概率是

1

12

，乙、丙兩人都做對的概率是

1

4

．不難構造方程組，求出乙和丙做對該題的概率．
（2）根據（1）的結論，根據分布列及數學期望的計算公式，易得到最終結果．

解答：解：記甲、乙、丙三人獨立做對這道題的事件依次為A、B、C，
則由已知條件得：P（A）=

3

4

又∵P（

.

A

•

.

C

）=[1-P（A）][1-P（C）]=

1

12

，∴P（C）=

2

3

又∵P（B•C）=P（B）•P（C）=

1

4

，∴P（B）=

3

8

乙、丙三人各自做對這道題的概率分別為

3

8

，

2

3

（2）隨機變量ξ的可能值為0，1，2，3，則
P（ξ=0）=P（

.

A

）P（

.

B

）P（

.

C

）=

1

4

×

5

8

×

1

3

=

5

96

P（ξ=1）=P（A）P（

.

B

）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（B）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（

.

B

）P（C）=

7

24

P（ξ=2）=P（A）P（B）P（

.

C

）+P（

.

A

）P（B）P（C）+P（A）P（

.

B

）P（C）=

15

32

P（ξ=3）=P（A）P（B）P（C）=

3

16

∴ξ的分布列為：

∴Eξ=0×

5

96

+1×

7

24

+2×

15

32

+3×

3

16

=

24

43

點評：若A事件發生的概率為P（A），B事件發生的概率為P（B），則
①A，B同時發生的概率為P（A）P（B）；
②A，B同時不發生的概率為P（

.

A

）P（

.

B

）；
③A不發生B發生的概率為P（

.

A

）P（B）；
④A發生B不發生的概率為P（A）P（

.

B

）；