Question

（2013•奉賢區二模）如圖放置的等腰直角三角形ABC薄片（∠ACB=90°，AC=2）沿x軸滾動，設頂點A（x，y）的軌跡方程是y=f（x），當x∈[0，4+2

2

]時y=f（x）=

4-(x-2)2 (0≤x≤2) 8-(x-4)2 (2≤x≤4+2 2 )

．

Answer 1

分析：根據三角形在滾動過程中的特點，要使x∈[0，4+2

2

]，說明三角形進行了兩次滾動，一次是以C為圓心，A在四分之一圓周運動，一次是以B為圓心A在中心角是135°的扇形弧上運動，由此可求A的軌跡．

解答：解：當等腰直角三角形以C為旋轉點滾動時，A的軌跡是以C（2，0）為圓心，以AC長為半徑的圓的部分，當B點落在x軸上時，點A運動了四分之一圓周，所以其軌跡方程為y=

4-(x-2)2

（0≤x≤2）；
當等腰直角三角形以B為旋轉點滾動時，A的軌跡是以B（4，0）為圓心，以AB長為半徑的圓的部分，當A點落在x軸上時滿足A點的最大橫坐標為4+2

2

．三角形不在滾動，此過程是以B（4，0）為圓心，以2

2

為半徑的圓的部分，軌跡方程為y=

8-(x-4)2

（2≤x≤4+2

2

）．
所以頂點A（x，y）的軌跡方程是f（x）=

4-(x-2)2 (0≤x≤2) 8-(x-4)2 (2≤x≤4+2 2 )

．
故答案為

4-(x-2)2 (0≤x≤2) 8-(x-4)2 (2≤x≤4+2 2 )

．

點評：本題考查了函數解析式的求解及常用方法，考查了分類討論的數學思想，訓練了圓的標準方程，是基礎題．