Question

在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD∥AB，PD⊥底面ABCD，AB=

2

AD，直線PA與底面ABCD所成的角為60°，M、N分別是PA、PB的中點．
（1）求證：直線MN∥平面PDC；
（2）若∠CND=90°，求證：直線DN⊥平面PBC；
（3）若AB=2，求棱錐B-PAC的體積．

Answer 1

分析：（1）因為M、N是PA、PB中點，結合三角形中位線定理得MN∥AB，從而MN∥CD，由線面平行的判定定理證得MN∥平面PDC；
（2）因為DN⊥PB，DN⊥CD，由線面垂直判定定理得直線DN⊥平面PBC；
（3）用等體積法，求V_P-ABC相應的高PD和底為ABC，再用體積公式即可．

解答：（1）證明：∵M、N是PA、PB中點，
∴MN∥AB，從而MN∥CD．（2分）
∵MN在平面PDC外，CD在平面PDC內，
∴直線MN∥平面PDC；（4分）

（2）證明：∵AB⊥AD，AB=

2

AD，
∴BD=

3

AD．
∵PD⊥底面ABCD，
直線PA與底面ABCD成60°角，
∴PD=

3

AD．∴PD=BD．（6分）
∵N是PB的中點，∴DN⊥PB．
∵∠CND=90°，∴DN⊥CD．
∵PB、CN相交于一點N，
∴直線DN⊥平面PBC；（10分）

（3）V_B-PAC
=V_P-ABC
=

1

3

S△ABC•PD
=

1

3

•

1

2

AB•AD•PD
=

2 3

3

．（14分）

點評：本題主要考查線面平行和線面垂直的判定定理以及線線平行垂直關系的轉化．