Question

7、n∈N₊，C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ=

n2^n-1

．

Answer 1

分析：本題中所求和中的每一項kC_n^k剛好是二項式^（1+x）n的通項C_n^kx^k的導數的系數，故可以先將二項式（1+x）ⁿ展開，然后兩邊求導，并將x取值為1即可求解為n2^n-1．（此外本題也可以用倒序相加法求解）

解答：解：∵（1+x）ⁿ=C_n⁰+C_n¹x¹+C_n²x³+C_n³x³+…+C_nⁿxⁿ，兩邊同時求導可得n（1+x）^n-1=C_n¹+2C_n²x¹+3C_n³x²+…+nC_nⁿx^n-1
令x=1，得n2^n-1=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
故答案為n2^n-1

點評：本題主要考查二項式定理的應用，屬于中等難度題型，在處理有關二項式定理有關系數問題時通常與二項式中x賦值有關．