Question

（12分）已知拋物線y²=8x上兩個動點A、B及一個定點M（x₀, y₀），F是拋物線的焦點，且|AF|、|MF|、|BF|成等差數列，線段AB的垂直平分線與x軸交于一點N．

（1）求點N的坐標（用x₀表示）；

（2）過點N與MN垂直的直線交拋物線于P、Q兩點，若|MN|=4，求△MPQ的面積．

 

Answer 1

【答案】

（1）N(x₀+4, 0)；（2）64。

【解析】主要考查直線與拋物線的位置關系，等差數列知識以及轉化與化歸思想的運用。

（1）設A(x₁, y₁)、B(x₂、y₂)，由|AF|、|MF|、|BF|成等差數列得x₁+x­₂=2x₀．

得線段AB垂直平分線方程：

令y=0，得x=x₀+4, 所以N(x₀+4, 0)．

（2）由M(x₀, y₀) , N(x₀+4, 0), |MN|=4, 得x₀=2．

由拋物線的對稱性，可設M在第一象限，所以M(2, 4), N(6,0)．

直線PQ: y=x－6, 由得△MPQ的面積是64．

思路拓展：解答此題，等差數列知識在于確定量與量之間的關系；注意充分利用拋物線的幾何性質—對稱性。