Question

已知f（x）=x²-1，g（x）=

x-1  x＞0 2-x  x＜0

（1）求f[g（2）]和g[f（2）]；
（2）求f[g（x）]和g[f（x）]的表達式．

Answer 1

分析：（1）根據g（x）為分段函數的性質求出g（2），再代入f（x）進行求解，同理可求出g[f（2）]的值；
（2）已知f（x）=x²-1，g（x）=

x-1  x＞0 2-x  x＜0

，需要分類討論，再利用整體法進行代入求解；

解答：解：（1）∵f（x）=x²-1，g（x）=

x-1  x＞0 2-x  x＜0

∴g（2）=2-1=1，f（2）=2²-1=3，
∴f[g（2）]=f（1）=1²-1=0，
g[f（2）]=g（3）3-1=2；
（2）若x＞0，可得g（x）=x-1，可得f[g（x）]=（x-1）²-1=x²-2x；
若x＜0，可得g（x）=2-x，可得f[g（x）]=（2-x）²-1=x²-4x+3；
∴f[g（x）]=

x2-2x，(x＞0) x2-4x+3，(x＜0)

；
∵f（x）=x²-1≥-1，
若x＞1或x＜-1，可得x²-1＞0，
∴g[f（x）]=x²-1-1=x²-2；
若-1＜x＜1，可得x²-1＜0，
∴g[f（x）]=2-（x²-1）=-x²+3；
∴g[f（x）]=

x2-2   (x＞0) -x2+3  (x＜0)

；

點評：此題主要考查函數的解析式的求解問題，整體法是一個常用的方法，是一道基礎題；