Question

已知橢圓C的兩個焦點分別為F₁（-1，0），F₂（1，0），點在橢圓C上，拋物線E以橢圓C的中心為頂點，F₂為焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l過點F₂，且交y軸于D點，交拋物線E于A，B兩點．
①若F₁B⊥F₂B，求|AF₂|-|BF₂|的值；
②試探究：線段AB與F₂D的長度能否相等？如果|AB|=|F₂D|，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）第一步設出橢圓C的方程為（a＞b＞0），因為橢圓C的兩個焦點分別為F₁（-1，0），F₂（1，0），可得c=1，把M代入標準方程，從而進行求解；
（2）由題意可得，拋物線E，y²=4x，設l：y=k（x-1），（k≠0），聯立直線和拋物線，利用根與系數的關系，求出A，B兩點和與積的關系①已知F₁B⊥F₂B，可以推出=1，利用此信息求出|AF₂|-|BF₂|；②假設|AB|=|F₂D|，因為l過點F₂，可以求出k的值，看是否存在，存在就求出直線l的方程．
解答：解：（1）由題意知，設橢圓C的方程為（a＞b＞0）
∴2a=+=4，
∴a=2，又c=1，∴b=，
∴橢圓c的方程為：；
（2）由題意可得，拋物線E，y²=4x，
設l：y=k（x-1），（k≠0），
⇒k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
△=16（k²+1）＞0，恒成立，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
x₁+x₂=2+，x₁x₂=1，
①∵F₁B⊥F₂B，∴=1，
又，x₁x₂=1，
∴+4x₂=x₁x₂，
∴x₁-x₂=4，
∴|AF₂|-|BF₂|=x₁-x₂=4；
②假設|AB|=|F₂D|，
∵l過點F₂，∴|AB|=x₁+x₂+p=4+，又D（0，-k），F₂（1，0），
∵|DF₂|=，
∵|AB|=|DF₂|，∴4+=，
∴k⁴-16k²-16=0，∴k²=8+4或k²=8-4（舍去），
即k=±2，所以l的方程為：y=±2（x-1）時，有|AB|=|DF₂|；
點評：此題主要考查橢圓的標準方程及其應用，解決此類題一般都要聯立方程，利用根與系數的關系進行求解，這類圓錐曲線問題，是高考的熱點問題，也是必考問題；