Question

已知數列{x_n}的首項x₁=3，通項x_n=2ⁿp+nq（n∈N⁺，p、q為常數）且x₁，x₄，x₅成等差數列．
（1）求p、q的值；
（2）{x_n}前n項和為S_n，計算S₁₀的值．

Answer 1

解：（1）由x₁=3，則3=2p+q①，
又x₁，x₄，x₅成等差數列，
則（3+32p+5q）=2（16p+4q）②，
聯立①②，解得p=1，q=1；
（2）把p=1，q=1代入通項得：x_n=2ⁿ+n，
則S₁₀=2+2²+…+2¹⁰+1+2+…+10=+=2101．
分析：（1）把n=1代入通項其值等于3，得到關于p與q的方程，記作①，又令n=4和5分別表示出x₄和x₅，根據x₁，x₄，x₅成等差數列，利用等差數列的性質得到2x₄=x₁+x₅，列出關于p與q的另一方程，記作②，聯立①②即可求出p與q的值，；
（2）把p與q的值代入通項即可確定出通項，羅列出數列{x_n}的前10項，依次結合后，分別利用等比數列和等差數列的前n項和公式即可求出S₁₀的值．
點評：此題考查學生掌握等差數列的性質，靈活運用等差數列及等比數列的前n項和公式化簡求值，是一道中檔題．