Question

如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且，G是EF的中點，

（1）求證：平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB與平面AGC所成角的正弦值。

Answer 1

（1）證明：正方形ABCD，
∵面ABCD⊥面ABEF且交于AB，
∴CB⊥面ABEF，
∵AG，GB面ABEF，
∴CB⊥AG，CB⊥BG，
又AD=2a，AF= a，ABEF是矩形，G是EF的中點，
∴AG=BG=，AB=2a，AB²=AG²+BG²，
∴AG⊥BG，
∵CG∩BG=B，
∴AG⊥平面CBG，而AG面AGC，
故平面AGC⊥平面BGC。
（2） 如圖，由（1）知面AGC⊥面BGC，且交于GC，
在平面BGC內作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC，
∴∠BGH是GB與平面AGC所成的角，
 ∴在Rt△CBG中，，
又BG=，
∴。