Question

【題目】已知二次函數f（x）=ax2+bx+c，（a，b，c∈R）滿足，對任意實數x，都有f（x）≥x，且當x∈（1，3）時，有f（x）≤ （x+2）2成立．
（1）證明：f（2）=2；
（2）若f（﹣2）=0，求f（x）的表達式；
（3）在（2）的條件下，設g（x）=f（x）﹣ x，x∈[0，+∞），若g（x）圖象上的點都位于直線y= 的上方，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由條件知：f（2）=4a+2b+c≥2成立，

又另取x=2時， 成立，

∴f（2）=2

（2）解：∵ ，∴ ，4a+c=1，

又f（x）≥x恒成立，即ax2+（b﹣1）x+c≥0在R上恒成立，

∴a＞0且△=（b﹣1）2﹣4ac≤0， ，

解得： ，

所以

（3）解：由題意可得：g（x）= + 在[0，+∞）時必須恒成立，即x2+4（1﹣m）x+2＞0在[0，+∞）時恒成立，

則有以下兩種情況：

①△＜0，即16（1﹣m）2﹣8＜0，解得

② ，解得： ，

綜上所述：

【解析】（1）由已知f（2）≥2成立，又由f（x））≤ （x+2）2成立，得f（2）≤ =2，根據兩種情況可得f（2）值；f（﹣2）=0，由上述證明知f（2）=2，f（x）的表達式中有三個未知數，由兩函數值只能得出兩個方程，再對任意實數x，都有f（x）≥x，這一恒成立的關系得到 0，由此可以得到a= ，將此三方程聯立可解出三個參數的值，求出f（x）的表達式；（3）g（x）= + 在[0，+∞）時必須恒成立，即x2+4（1﹣m）x+2＞0在x∈[0，+∞）恒成立．轉化為二次函數圖象與x軸在x∈[0，+∞）無交點的問題，由于g（x）的單調性不確定，故本題要分兩種情況討論，一種是對稱軸在y軸右側，此時需要判別式小于0，一類是判別式大于0，對稱軸小于0，且x=0處的函數值大于等于0，轉化出相應的不等式求解．