Question

設函數.

(Ⅰ)當x=6時,求的展開式中二項式系數最大的項;

(Ⅱ)對任意的實數x,證明＞

(Ⅲ)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,試證明你的結論并求出a的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

本題考察函數、不等式、導數、二項式定理、組合數計算公式等內容和數學思想方法。考查綜合推理論證與分析解決問題的能力及創新意識。

（Ⅰ）解：展開式中二項式系數最大的項是第4項，這項是

（Ⅱ）證法一：因

故f’(x)恒成立。

證法二：

因

而

故只需對和進行比較。

令，有

由，得

因為當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，所以在處有極小值

故當時，，

從而有，亦即

故有恒成立。

所以

得，原不等式成立。

（Ⅲ）對，且

有

又因，故

∵，從而有成立，

即存在，使得恒成立。