Question

已知曲線(xiàn)y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y軸的切線(xiàn)，函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上單調(diào)遞增，則a的范圍為

（-∞，0]

．

Answer 1

分析：曲線(xiàn)y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y軸的切線(xiàn)，故f（x）函數(shù)在某一個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零．由y′=3(a-3)x2+

1

x

，知方程3（a-3）x²+

1

x

=0有解；再由f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上單調(diào)遞增，能求出a的范圍．

解答：解：∵曲線(xiàn)y=（a-3）x³+lnx存在垂直于y軸的切線(xiàn)，
∴f（x）函數(shù)在某一個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)等于零．
由函數(shù)的表達(dá)式可知f（x）的定義域?yàn)閤＞0，
∵y′=3(a-3)x2+

1

x

，
∴方程3（a-3）x²+

1

x

=0有解，
等價(jià)于3（a-3）x³+1=0有解時(shí)求a的范圍，
∴a＜3；
∵f（x）=x³-ax²-3x+1，
∴f′（x）=3x²-2ax-3，其對(duì)稱(chēng)軸為x=

a

3

，
∵函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x+1在[1，2]上單調(diào)遞增，
∴3-2a-3≥0，解得a≤0，
綜上，a的范圍為（-∞，0]．
故答案為：（-∞，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．