Question

已知數列是首項為，公差為的等差數列，是首項為，公比為的等比數列，且滿足，其中.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若數列與數列有公共項，將所有公共項按原順序排列后構成一個新數列，求數列的通項公式；

（Ⅲ）記（Ⅱ）中數列的前項之和為，求證：

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Answer 1

（Ⅰ）由題設.                               （1分）

由已知，所以.又b＞0，所以a＜3.    （2分）

因為，則.又a＞0，所以b＞2，從而有.      （3分）

因為，故.                                                      （4分）

（Ⅱ）設，即.                             （5分）

因為，則，所以.                    （6分）

因為，且b∈N*，所以，即，且b＝3.          （7分）

故.                                                         （8分）

（Ⅲ）由題設，.                           （9分）

當時，，當且僅當時等號成立，所以.                                      （11分）

于是.   （12分）

因為S₁＝3，S₂＝9，S₃＝21，則

.                                (13分)