Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+a²在x=1處有極值10，則a•b=

-44

．

Answer 1

分析：求出導函數，令導函數在1處的值為0；f（x）在1處的值為10，列出方程組求出a，b的值，注意檢驗．

解答：解：f′（x）=3x²+2ax+b，
由題意得，f′（1）=3+2a+b=0①，f（1）=1+a+b+a²=10②，
聯立①②解得

a=4 b=-11

或

a=-3 b=3

，
當a=-3，b=3時，f′（x）=3x²-6x+3=3（x-1）²，
x＜1或x＞1時，f′（x）＞0，所以x=1不為極值點，不合題意；
經檢驗，a=4，b=-11符合題意，
所以ab=-44，
故答案為：-44．

點評：本題考查利用導數研究函數的極值，可導函數f（x）在x=x₀處取得極值的充要條件是f′（x₀）=0，且在x₀左右兩側導數異號．