Question

5．已知不等式e^x≥kx恒成立，則k的最大值為（　　）

• A． e
• B． -e
• C． $\frac{1}{e}$
• D． $-\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 由題意可得f（x）=e^x-kx≥0恒成立，即有f（x）_min≥0，求出f（x）的導數，求得單調區間，討論k，可得最小值，解不等式可得k的最大值．

解答 解：不等式e^x≥kx對任意實數x恒成立，即為：
f（x）=e^x-kx≥0恒成立，
即有f（x）_min≥0，
由f（x）的導數為f′（x）=e^x-k，
當k≤0，e^x＞0，可得f′（x）＞0恒成立，f（x）遞增，無最大值；
當k＞0時，x＞lnk時f′（x）＞0，f（x）遞增；x＜lnk時f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有x=lnk處取得最小值，且為k-klnk，
由k-klnk≥0，解得k≤e，
即k的最大值為e，
故選：A．

點評 本題考查不等式恒成立問題的解法，注意運用構造函數求最值，考查運算能力，屬于中檔題．