Question

過原點O的直線l與橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)交于M，N兩點，P是橢圓C上異于M，N的任一點．若直線PM，PN的斜率之積為-

1

4

，則橢圓C的離心率為

3

2

．

Answer 1

分析：設點的坐標，表示出直線PM，PN的斜率，利用直線PM，PN的斜率之積為-

1

4

，結合點差法，化簡，即可求得離心率．

解答：解：設P（x，y），M（m，n），N（-m，-n），則直線PM，PN的斜率分別為

y-n

x-m

，

y+n

x+m

∵直線PM，PN的斜率之積為-

1

4

，∴

y-n

x-m

•

y+n

x+m

=-

1

4

，∴

y2-n2

x2-m2

•=-

1

4

∵M，P是橢圓C上的點
∴

x2

a2

+

y2

b2

=1，

m2

a2

+

n2

b2

=1
兩式相減可得

x2-m2

a2

=-

y2-n2

b2

∴

y2-n2

x2-m2

•=-

b2

a2

∴

b2

a2

=

1

4

∴a=2b，∴c=

a2-b2

=

3

b
∴e=

c

a

=

3

2

故答案為：

3

2

點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查點差法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．