Question

（湖南卷理17）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.

  （Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.

Answer 1

解: 解法一（Ⅰ）如圖所示，連結BD，由ABCD是菱形且∠BCD=60°知，

△BCD是等邊三角形.因為E是CD的中點，所以BE⊥CD,又AB∥CD,

所以BE⊥AB.又因為PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以

PA⊥BE.而AB=A,因此BE⊥平面PAB.

又平面PBE，所以平面PBE⊥平面PAB.

（Ⅱ）延長AD、BE相交于點F，連結PF.

過點A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知

平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.

在Rt△ABF中，因為∠BAF＝60°，

所以，AF=2AB=2=AP.

在等腰Rt△PAF中，取PF的中點G，連接AG.

則AG⊥PF.連結HG，由三垂線定理的逆定理得，

PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（銳角）.

在等腰Rt△PAF中，

在Rt△PAB中，

所以，在Rt△AHG中，

故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是

解法二: 如圖所示，以A為原點，建立空間直角坐標系.則相關

各點的坐標分別是A（0，0，0），B（1，0，0），

P（0，0，2）,

（Ⅰ）因為，

平面PAB的一個法向量是，

所以共線.從而BE⊥平面PAB.

又因為平面PBE，

故平面PBE⊥平面PAB.

   (Ⅱ)易知  

       設是平面PBE的一個法向量，則由得

所以

      設是平面PAD的一個法向量，則由得

所以故可取

      于是，

      故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是