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已知拋物線C：y²=2ax（a＜0）,過點(-1,0)作直線l交拋物線C于A、B兩點，問是否存在以AB為直徑且過拋物線的焦點F的圓?

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思路解析：實際的問題是：是否存在實數a，使得以AB為直徑且過拋物線C的焦點F的圓存在，這里首先設出直線l的方程，代入拋物線方程，再利用根與系數關系及條件AF⊥BF求解.

解：設直線l的方程為y=k（x+1）（k≠0），代入拋物線C：y²=2ax整理得k²x²+（2k²-2a）x+k²=0

①

若以AB為直徑且過焦點F的圓存在，則AF⊥BF.

∵F（，0），設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則·=-1，

即k²（x₁+1）（x₂+1）+（x₁-）（x₂-）=0. ②

由方程①有x₁+x₂=,x₁x₂=1,代入②,整理得k²=.

∵k²＞0,∴a²+12a+4＞0且a＜0.

解得a＜-6-4或-6+4＜a＜0.

又當k不存在時,直線l:x=-1,可得A(-1,-),B(-1,),由k_AF·k_BF=-1得a=-6±4.故當a≤-6-4或-6+4≤a＜0時,存在滿足題設的圓;當-6-4＜a＜-6+4時,不存在這樣的圓.

方法歸納

在解題過程中,應注意對k進行分類討論,還應注意a＜0對所求結果的影響.另外,在解題中,也可設直線l的方程為ky=x+1(k≠0),這對簡化運算有一定的幫助.

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