Question

已知A（-1，0）、B（3，0），M、N是圓O：x²+y²=1上的兩個動點，且M、N關于x軸對稱，直線AM與BN交于P點．
（1）求P點的軌跡C的方程；
（2）設動直線l：y=k（x+）與曲線C交于S、T兩點．求證：無論k為何值時，以動弦ST為直徑的圓總與定直線x=-相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定直線AM與BN的方程，可得M的坐標，代入圓的方程，即可求P點的軌跡C的方程；
（2）直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理確定ST的中點坐標，證明（中點到直線的距離），即可得到結論；另解：利用拋物線的定義，證明以ST為直徑的圓與x=-總相切．
解答：（1）解：設M（x，y），則N（x，-y），P（x，y）（x≠-1且x≠3）
∵AM：y=①，BN：y=②
∴聯立①②，解得（4分）
∵點M（x，y）在圓⊙O上，代入圓的方程：
整理：y²=-2（x+1）（x＜-1）（6分）
（2）證明：由
設S（x₁、y₁），T（x₂、y₂），ST的中點坐標（x、y）
則x₁+x₂=-（3+），x₁x₂=（8分）
∴
中點到直線的距離∵
∴
故圓與x=-總相切．（13分）
另解：∵y²=-2（x+1）知焦點坐標為（-，0）（2分）
頂點（-1，0），故準線x=-（4分）
設S、T到準線的距離為d₁，d₂，ST的中點O'，O'到x=-的距離為
又由拋物線定義：d₁+d₂=|ST|，∴
故以ST為直徑的圓與x=-總相切（8分）
點評：本題考查代入法求軌跡方程，考查直線與拋物線，直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．