Question

在直角坐標系xOy中，一直角三角形ABC，∠ C=90°，B、C在x軸上且關于原點O對稱，D在邊BC上，BD=3DC，△ABC的周長為12．若一雙曲線E以B、C為焦點，且經過A、D兩點．

(Ⅰ)求雙曲線E的方程；

(Ⅱ)若過一點P(m，0)(m為常數)的斜率存在的直線l與雙曲線E交于不同于雙曲線頂點的兩點M、N，且，問在x軸上是否存在定點G，使?若存在，求出所有這樣的定點G的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：( Ⅰ)設所求雙曲線方程為

(a＞0,b＞0),C(c,0)

∵BD=3DC,∴a+c=3(c-a),∴c=2a,b=a,

將x=c代入方程得y=±,

∴AC==3a,于是AB=5a,又BC=2c=4a,

∴5a+3a+4a=12,∴a=1,則b=,

∴雙曲線的方程為:x²-=1

(Ⅱ)設在x軸上是存在定點G(t,0),使⊥(-λ)

設直線l：y=k(x-m),M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),

將y=k(x-m)代入x²-=1并整理得，

(3-k²)x²+2mk²x-k²m²-3=0,

∵3-k²≠0

∴x₁+x₂=-,x₁·x₂=-,

∵-λ=(x₁-t-λx₂+λt,y₁-λy₂),=(4,0),

∴⊥(-λ)的充要條件是x₁-t-λx₂+λt)=0

由=λ,得y₁+λy₂=0,∴λ=-, 

又y₁=k(x₁-m),y₂=k(x₂-m),

∴x₁-t-λx₂+λt=x₁-t+

=x₁-t+

=,

即2x₁x₂-(x₁+x₂)(m+t)+2mt=0. 

∴2(m+t)+2mt=0,

化簡得mt=1,∴t=,

∴在x軸上存在定點G(,0),使⊥().